Lineáris kevert modellalkotás

I. Modellalkotás célja

Gyógyszerpiaci folyamatok leírása statisztikai alapokon nyugvó modellalkotás segítségével. Megfelelő magyarázó változók bevonásával írja le a modell a magyarázandó változót, ami esetünkben egy adott készítmény dobozforgalma. A modell időbeli folyamatot is figyelembe vesz, azaz periodikusan ismétlődően ad becslést a magyarázandó változóra.
Modellünk kísérletet tesz arra, hogy időbeli elorejelzés formájában becslést adjon a dobozforgalom alakulására.

II. Modellalkotás során használt változók

1. Magyarázandó változónk az egyes készítmények kiszerelésenkénti dobozforgalma, pontosabban a normatív támogatottságú piacon szereplő gyógyszerek dobozforgalma.

2. Magyarázó változóink, melyek készítményenkénti információval rendelkeznek:

1. Fogyasztói ár
2. Térítési díj
3. Adott kiszerelés mellett az átlagos terápia hossza napokban kifejezve (DOT)
4. Hány éve van forgalomban

3. A csoportosító változónk az ATC kategóriák első három jelét figyelembe vevo ATC3-as besorolás alapján képződik.

4. Az időbeliséget megtestesítő változóink:

1. A kutatásba bevont 8 negyedévet hivatott jelölni. A jövőbeli előrejelzés miatt még egy negyedévet felveszünk. (felvehető értékek: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2. Az első 4 negyedévet, azaz 2004-et jelzik (felvehető értékek: 1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0)
3. A második 4 negyedévet (2005) jelöli, plusz még egy érték az előrejelzéshez: 2006 első negyedév. (felvehető értékek: 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5)

III. Változók mérési szintjei

A kutatásba bevont változók a nominális vagy az arányskála mérési szint valamelyikének felelnek meg.

1. Nominális mérési szintű változó:
Az ATC3-as besorolás. Ebben az esetben nem tudjuk sorbarakni az egyes kategóriákhoz tartozó értékeket, tehát például az A05 nincs relációban a G03 csoporttal.

2. Arányskála mérési szintű változók:
Ennek a kritériumnak szinte mindegyik változónk eleget tesz. Sorba tudjuk rendezni a gyógyszereket például fogyasztói áruk szerint, továbbá ha az egyiknek az ára kétszer akkora mint a másiknak, akkor azt mondhatjuk, hogy az kétszer olyan drága a fogyasztói ár tekintetében. Tehát arányosan viszonyulnak egymáshoz az értékek.
A fentieknek csak az időbeliséget kifejező segédváltozók tesznek részlegesen eleget. Ugyanis ezeknek a változóknak az a szerepük, hogy külön-külön jelezzék a két év alatt az idő múlását.

IV. A modell leírása

A modell felépítését három részre tudjuk bontani: fix hatások, random hatás, időbeli hatás.

1. Fix hatások

A fix hatások közé besorolt magyarázó változók különböző arányban járulnak hozzá a magyarázandó változó megbecsléséhez. Feladatunk az volt, hogy találjunk olyan ismérveket, melyek hatásukkal szignifikánsan le tudják írni a dobozforgalmak alakulását.

1. A fogyasztói ár hatásának tekintetében feltevésünk a következő volt: minél magasabb egy gyógyszer fogyaszói ára, annál kisebb a dobozforgalma. Tehát itt arról van szó, hogy nem vesszük figyelembe azt, hogy kap-e támogatást egy adott készítmény, vagy nem, illetve ha kap, akkor ez milyen mértékű.
2. Térítési díj hatásával kapcsolatban a fentiekkel megegyező volt vélekedésünk: minél magasabb egy készítmény térítési díja, annál kevesebb fogy belole. Ebben az esetben azt modjuk, hogy vagy azért fogy jobban egy adott gyógyszer, mert eleve alacsony a fogyasztói ára, vagy azért, mert magas támogatásban részesül.
3. Terápiás napok száma adott kiszerelés mellett (DOT) változó tekintetében azt tételeztük fel, hogy minél nagyobb egy készítmény kiszerelése, annál kevesebb fogy belőle.
4. A forgalmazás kezdete óta eltelt évek hatásával kapcsolatos feltevésünk a következő volt: minél régebben van egy gyógyszer a piacon, annál nagyobb a forgalma.
5. Fix hatásnak választottuk be az időt kifejező segédváltozókat is. A vizsgált 8 negyedév alatt emelkedő forgalmi tendenciát tételeztünk fel, de a lineáris trendet árnyalhatjuk, ha azt feltételezzük, hogy a két évet (20004 és 2005) két különböző iránytangensű, azaz meredekségű egyenes írja le. Tehát feltevésünk az volt, hogy különbözik a két év dobozforgalmi növekmény tekintetében.

2. Random hatás

Random hatás alatt azt értjük, hogy nem egy az egyben bír jelentősséggel az ATC3 besorolás. Természetesen mondhatjuk azt, hogy ez nincs így, mert valamely ATC3-as csoportok sokkal nagyobb forgalommal rendelkeznek, mint más ATC3-as csoportok. De ezt a szabályt csak bizonyos csoportok esetekben tudnánk alkalmazni. Ezért azt mondjuk, hogy valamilyen struktúrált véletlen hatással bír azt ATC3-as beosztás.

3. Időbeli hatás
Azt tételeztük fel, hogy a megfigyelési egységeink között, azaz az egyes készítményekhez tartozó ismérvek között nincs függetlenség. Tehát nem független egymástól az, hogy egy adott készítménybol hány dobozzal fogyott az adott negyedévben és hány az azt megelőző negyedévben. Feltevésünket természetesen ettől konkrétabban is megfogalmaztuk: valamilyen mértékű autoregresszív folyamat lesz megfigyelhető az egyes negyedévek között.
(Autoregresszivitás: a t-edik idopontbani megfigyelésünkre hatással van a (t-1)-dik idopontban megfigyelt érték. Pontosabban ezt elso rendu autoregresszív hatásnak hívjuk, mivel csak egy időben korábbi megfigyelést vesz figyelembe.)

V. A modellt leíró eredmények ismertetése

1. Kutatásba bevont változók eloszlásainak elemzése

A kutatásba bevont változók eloszlásának elemzése után hamar kiderült, hogy a normális eloszlás feltételeit nem teljesítik. Nem is csoda, hiszen készítmények árával kapcsolatosak adataink, valamint az áraktól egyáltalán nem független forgalmi eredményeket akarjuk magyarázni.

Modellünk kizárólag a megfigyelt lineáris kapcsolatokra érzékeny. Adataink egy részének eloszlása szignifikánsan eltér a normáis eloszlástól, pontosabban közel exponenciális eloszlást mutat.

Az alábbi változók esetében a természetes alapú logaritmus tarnszformációját alkalmaztuk:

1. Dobozforgalom
2. Fogyasztói ár
3. Térítési díj
4. Terápiás napok száma (DOT)

Az elemzési eljárás során a modellben két féle leírást használunk a dobozforgalom és a magyarázó változók közötti kapcsolat leírására:
- loglog vagy loglineáris kapcsolatok (dobozforgalom logaritmusa és fogyasztói ár logaritmusa);
- loglin kapcsoaltok (dobozforgalom logaritmusa és a piacon eltöltött évek száma).

ln(Y)=ln(const)+b1*ln(X1)+b2*ln(X2)+...+b5*X5+b6*X6

2. Fix hatások a modellben

1. Konstans hatás: lineáris egyenletünk tartalmaz egy olyan értéket, mely nem függ közvetlenül változóinktól. Ennek értéke 14.665 lett logaritmikus skálán mérve.
2. Fogyasztói ár logaritmusának hatása: negatív hatással van a dobozforgalom alakulására. Az együttható értéke -0.384 lett.
3. Térítási díj logaritmusának hatása: negatív hatással van magyarázandó változónkra. Az együttható értéke -0.465 lett, tehát erősebb hatással van a dobozforgalomra, mint a fogyasztói ár.
4. Terápiás napok számának hatása logaritmikus skálán: szintén negatív kapcsolatban áll a dobozforgalommal. Az együttható értéke -0.399 lett.
5. A piacon töltött idő hatása (lineáris skálát használva): pozitív hatása van a dobozforgalomra. Az együttható értéke 0.018.
6. A 2004-es év lineárisan emelkedő tendenciát jelző segédváltozó hatása: pozitív hatást gyakorol a forgalomra, értéke 0.018 lett.
7. A 2005-ös év lineárisan emelkedő tendenciát jelző segédváltozó hatása: pozitív hatással van a dobozforgalom alakulására. Értéke 0.041 lett. Tehát a 2005-ös esztendőben erősebb volt a forgalom növekménye, mint 2004-ben.

Az összes fix hatás tekintetében elmondhatjuk, hogy 5%-os hibahatár mellett statisztikailag szignifikánsnak tekinthetjük a kapcsolatokat.

3. Random hatás a modellben

A random hatás struktúrájának az egyforma szórású kovariancia struktúrát választottuk. Ez azt mondja, hogy az egyes ATC3-as kategóriákban a szórások megegyeznek, továbbá hogy nincs korreláció a kategóriák között.

Az ATC3-as besorolás strukturált random hatása a modellben 5%-os hibahatár mellett statisztikai szignifikanciát mutatott.

4. Időbeli hatás

A gyógyszerek között autoregresszív folyamatot feltételeztünk. A modellalkotás során ennek helyessége igazolódott. Ezek után emeltük az időbeli kapcsolat erősségére vonatkozó modell erosségét, azaz több feltételnek kellett eleget tennie ahhoz, hogy illeszkedjenek adataink a modellhez.
Tehát az AR(1) kapcsolatot felcseréltük az ARMA(1,1) kapcsolatra. Ez azt jelenti, hogy az elsőrendű autoregresszív kapcsolat mellett a mozgóátlag feltételét is bevettük a modellbe. Az autoregresszív paraméter értéke (rho) 0.745 lett, a mozgóátlagé (phi) pedig 0.817. Mindkét paraméter erős hatással bír az időben egymást követő adatokra.

Az adatok ismételt megfigyelésének ARMA(1,1) hatása a modellben 5%-os hibahatár mellett statisztikai szignifikanciát mutatott.

VI. Nézzünk egy példát a dobozforgalom becslésére

A dobozforgalmat magyarázó változóinkon keresztül fogjuk megbecsülni, illetve az időben megfigyelt változásokra hagyatkozva egy negyedévet előre mutatva predikciót teszünk függő változónkra.

Az alábbi készítményeket választottuk ki a módszer bemutatására, és az eredmények ismertetésére:

Konakion MM paediatric 2 mg injekció(210016851)ATC3=B02
Atenolol comp. Pharmavit filmtabletta(210002682)ATC3=C07
Rivotril 2 mg tabletta(210029862)ATC3=N03
Convulex 300 mg kapszula(210006602)ATC3=N03

Mint fentebb már láttuk, a modell három fő részből áll: fix hatások, random hatás, időbeli hatás. A fix hatásokra fel tudjuk írni az egyenletet. Függő változónk, azaz a dobozforgalom természetes alapú logaritmusára adtunk becslést. Magyarázó változóink esetében ez a transzformáció nem minden esetben került alkalmazásra.
Minden magyarázó változóhoz kaptunk egy szorzó tényezőt, ezek segítségével fogjuk megadni a dobozforgalom megbecsléséhez az egyenlet tagjait.
Diagram formájában megtekinthetjük az eredményeket mind a négy készítmény esetében. A következő számpéldában viszont csak az Atenolol comp. Pharmavit filmtablettán keresztül mutatjuk be a becslést, a 2005. év 4 negyedéves adatain keresztül.

1. Legyen az első a konstans hatás: értéke 14.665. Ez önmagában egy tagja az egyeneltnek.
2. Fogyasztói ár. Minél magasabb egy készítmény fogasztói ára, nagy valószínűséggel annál alacsonyabb lesz dobozforgalma. A készítmény fogyasztói ára a 2004-es év második negyedévétől eltekintve 708 Forint volt. A modellbe a változó logaritmusa került be, melynek értéke 6.56. A fogyasztói ár hatása: -0.384. Becslésünk e két szám szorzata: -0.384*6.56=-2.519.
3. Térítési díj. Itt is a logaritmikus transzformációt alkalmaztuk. A térítési díj 61 és 71 Forint között mozgott, a vizsgált negyedévben 71 Forint volt. Ennek az értéknek a logaritmusa 4.27. Mint láttuk, a térítési díj is negatív hatással van a dobozforgalomra, a szorzó értéke: -0.465. A két szám szorzata pedig: -1.985.
4. Terápiás napok száma. Természetes alapú logaritmussal számoltunk itt is. Ez az érték nem változik, értéke 27, melynek logaritmusa: 3.28. A hatás itt is negatív: -0.399. Szorzatunk pedig a következo: -1.309.
5. Piacon töltött idő. Itt nem volt traszformáció. Az adott kiszerelés, illetve TTT kód mellett a készítmény 14 éve van a piacon. A pozitív hatás erősségét mutató szorzó értéke: 0.018. A két szám szorzata: 0.252.
6. A 2004. év hatása. Nincs hatással eredményünkre, hiszen a segédváltozó értéke nulla.
7. A 2004. év hatása. Nagy általánosságban lineáris tendenciát is feltételeztünk. A segédváltozó értéke 4. A pozitív hatást mutató együttható értéke pedig: 0.041. Így a szorzat: 0.164.

A fix hatások által meghatározott becslésünk a dobozforgalom logaritmusára az imént meghatározott 7 számnak az összege, tehát
ln(dobozforgalom)=14.665-2.519-1.985-1.309+0.252+0+0.164=9.268.
Az exponenciális transzformáció segítségével megkaphatjuk a dobozforgalom fix hatások által becsült értékét: 10594.

A random hatás, illetve az idobeli változás kifejező ARMA(1,1) kapcsolat a fix hatások által kialakított értéket fogja tovább árnyalni. A három hatás eredménye adaja meg a becslést, melynek értéke 9,3523 lett logaritmikus skálán mérve. Nominálisan a dobozforgalom 11525 lett. A ténylegesen mért forgalom pedig 11088 doboz volt.